力学の基礎:梁の強さと断面形状。断面係数と断面二次モーメント

設計者に限りませんが、ベテランも最初は初心者です。言葉一つとっても知らないことばかりで当たり前です。なのに、学び始めた時に苦労するのは今も変わらないようです。

モノづくりでは、使用時に想定される使い方で壊れないように設計します。設計ポイントは応力集中以外にもあります。

ここでは、断面が長方形の梁を例に、断面係数と断面二次モーメントを使い、縦置きと横置きの梁の強さと断面形状を比較します。

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長方形断面の梁の強さ

まずは、梁の強さと断面形状について説明します。

下図に示す長方形断面の梁があります。この梁の中央部分に重りを載せて(重力)を加えます。

ここで、問題です。

下図のように縦長に配置する場合と横置きに配置する場合とでは、どちらの梁の方が強い(より多くの荷重を加えられる)でしょうか?

梁に重りを載せる:縦置き

梁に重りを載せる:縦置き

図1 梁に重りを載せる:縦置き

梁に重りを載せる:横置き

梁に重りを載せる:横置き

図2 梁に重りを載せる:横置き

理由は分からない、説明できないとしても、「直感的に縦置きの方が強い」と考えた方は正解です。

はかせ
はかせ

この答えに悩む方もいて、予想外のことを考えていて驚いたこともありますし、力学的なセンスがないのかな?と思うこともありました。

では、縦置きの方が強いことを、力学的に説明します。

強度計算では、断面二次モーメントと断面係数で判断することができます。

  • 断面二次モーメントは変形のしにくさ(曲がりにくさ)、たわみを表します。
  • 断面係数は、曲げ強さ、壊れるまでの強さ、壊れにくさを表します。
はかせ
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ここでは、断面二次モーメントと断面係数について、結果(数式)から説明します。詳細は別途まとめたいと思います。

断面二次モーメントで比べる

縦(\(h\))、横(\(b\))の下図に示す長方形の断面二次モーメント(\(I\))は、次式で表されます。

断面二次モーメントと断面係数の諸元

断面二次モーメントと断面係数の諸元

図3 断面二次モーメントと断面係数の諸元

$$I = \frac 1 {12} b h^3$$

上式において、から、縦(\(h\))は3乗になっていますので、横(\(b\))よりも縦(\(h\))を変化させた方が断面二次モーメント(\(I\))への影響が大きくなるということです。

ここで、縦置きと横置きを比較します。

縦置きの断面二次モーメント

縦(\(h\))、横(\(b\))を次の値とします。

$$h = 2$$

$$b = 1$$

断面二次モーメント(\(I\))は、

$$I = \frac 1 {12} b h^3 = \frac 2 3$$

横置きの断面二次モーメント

縦(\(h\))、横(\(b\))を次の値とします。

$$h = 1$$

$$b = 2$$

断面二次モーメント(\(I\))は、

$$I = \frac 1 {12} b h^3 = \frac 1 6$$

つまり、梁を縦に置くと、横に置いた場合よりも、断面二次モーメントの値は4倍となります。

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断面係数で比べる

縦(\(h\))、横(\(b\))の図3に示す長方形の断面係数(\(Z\))は、次式で表されます。

$$Z = \frac 1 {6} b h^2$$

上式において、から、縦(\(h\))は2乗になっていますので、横(\(b\))よりも縦(\(h\))を変化させた方が断面二次モーメント(\(I\))への影響が大きくなるということです。

ここで、縦置きと横置きを比較します。

縦置きの断面係数

縦(\(h\))、横(\(b\))を次の値とします。

$$h = 2$$

$$b = 1$$

断面二次モーメント(\(I\))は、

$$I = \frac 1 {6} b h^2 = \frac 2 3$$

横置きの断面係数

縦(\(h\))、横(\(b\))を次の値とします。

$$h = 1$$

$$b = 2$$

断面二次モーメント(\(I\))は、

$$I = \frac 1 {6} b h^2 = \frac 1 3$$

つまり、梁を縦に置くと、横に置いた場合よりも、断面係数の値は2倍となります。

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まとめ

モノづくりでは、使用時に想定される使い方で壊れないように設計します。設計ポイントは応力集中以外にもあります。

ここでは、断面が長方形の梁を例に、断面係数と断面二次モーメントを使い、縦置きと横置きの場合とで梁の強さを比較する方法について、以下の項目で説明しました。

  • 長方形断面の梁の強さ
  • 断面二次モーメントで比べる
    • 縦置きの断面二次モーメント
    • 横置きの断面二次モーメント
  • 断面係数で比べる
    • 縦置きの断面係数
    • 横置きの断面係数
はかせ

振動制御を学ぶことで実験・計測とCAE、モデリングに制御と幅広く学び、出会いとチャンスにも恵まれ工学博士になりました。
CAEが珍しくない今だからこそ、実験やリアルなモノづくり体験が必要だと考えています。

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