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FEMを使うために必要な基礎知識:2つの応力、フォン・ミーゼス応力と主応力

2つの応力、フォン・ミーゼス応力と主応力 有限要素法入門

製品設計でよく使われるFEM(有限要素法)によるシミュレーションが、応力解析です。

ここでは、応力解析によく出てくる2つの応力、フォン・ミーゼス応力主応力の基本的なことについて説明します。

応力や歪(ひずみ)については、以下の記事をご参照ください。

4つの応力(垂直・曲げ・せん断・ねじり)と弾性係数との関係は、以下の記事をご参照ください。

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応力解析で得られる解析結果、変位と応力について

応力解析では、変位と応力の解析結果を得ることができます。

解析結果の変位からは、どの程度変形するか(変形量)が分かります。

これにより、

  • 変形により製品の機能に影響が出ないか
  • 設計範囲(想定した範囲)内に収まっているか

を確認することができます。

解析結果の応力からは、

  • 設計範囲内の応力(許容応力)以下となっているか
  • 弾性範囲に収まっているか

を確認することができます。

ここで弾性範囲について補足します。

弾性範囲とは、下図の青の斜線部分に示す範囲のことで、次の様な特性があります。

  • 弾性範囲内であれば、荷重を取り除くと元の形状に戻る。
  • 弾性範囲を超えると、元の形状に戻らない。つまり、これが変形です。
応力-歪(ひずみ)線図と弾性範囲(設計範囲)

応力-歪(ひずみ)線図と弾性範囲(設計範囲)

図1 応力-歪(ひずみ)線図と弾性範囲(設計範囲)

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応力の考え方(理論)について

ここでは、応力の理論について簡単に説明します。

材料の強度試験では、1軸方向、例えば上下に引張力を加えていき、材料に降伏や破断生じる力を調べます。

しかし、実際の製品では、1軸方向だけでなく、様々な方向に力が発生し、力同様応力も複雑です。

そこで複雑な応力を1軸に置き換えて評価します。

この様に、製品に発生する複雑な応力を一軸に置き換える考え方(理論)は、 「強度理論」 と呼ばれています。

ここでは、以下の3つの強度理論についてその概要を説明します。

  • 最大主応力説
  • 最大せん断応力説(トレスカの説ともいいます)
  • せん断ひずみエネルギー説

最大主応力説

最大主応力説では、部材の内部に発生する応力のうち、最大となる応力(主応力)が材料の強度に達した時、破損を生じると考えます。

主応力には、「大きさ」 と 「方向」 があります。

下図は、FreeCADの最大主応力と最小主応力の表示例です。

最大主応力の表示例

最大主応力の表示例

図2 最大主応力の表示例

最小主応力の表示例

最小主応力の表示例

図3 最小主応力の表示例

最大せん断応力説

最大せん断応力説では、材料に生じる最大せん断応力が、材料の強度に達した時破損を生じると考えます。

材料によっては、他の応力よりせん断応力の方が小さい値でも、破損することがあります。

下図は、FreeCADの最大せん断応力の表示例です。

最大せん断応力の表示例

最大せん断応力の表示例

図4 最大せん断応力の表示例

せん断ひずみエネルギー説

せん断ひずみエネルギー説では、材料に蓄えられる全ひずみエネルギーのうち、体積変化を伴わないせん断ひずみエネルギーが、材料の強度に達した時に破損すると考えます。

せん断ひずみエネルギーに比例する相当応力をフォン・ミーゼス応力といい、主応力のように方向を持たない応力となります。

下図は、FreeCADのフォン・ミーゼス応力の表示例です。

フォン・ミーゼス応力の表示例

フォン・ミーゼス応力の表示例

図5 フォン・ミーゼス応力の表示例

フォン・ミーゼス応力の補足説明

材料が弾性の限界を超えても破壊されず、引き伸ばされる性質をもつ材料を延性材料といいます。

延性材料 の破損は、

「最大せん断応力説」と「せん断ひずみエネルギー説」

で評価します。

「せん断ひずみエネルギー説」は、実験結果との対応(相関)もよいことから、FEMの解析結果を評価する際によく使います。

せん断ひずみエネルギーに比例する相当応力を、フォン・ミーゼス応力といいます。

フォン・ミーゼス応力は、方向を持たない応力となります。

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最大主応力の補足説明

鋳鉄(鋳物)などの脆い(もろい)性質を持つ「脆性材料」は、引張試験から得られる応力ひずみ線図がほぼ直線的で、降伏を示さずに破壊に至ります。

また、次の様な特徴があります。

  • 引張強さと比較して、圧縮強さのほうが大きい
  • ねじり強さは、ほぼ同じ

といった特徴があります。

そのため、脆性材料の解析には、「最大主応力説」が多く用いられています。

最大主応力は、引張応力、最小主応力は圧縮応力となります。

まとめ

ここでは、応力解析によく出てくる2つの応力、フォン・ミーゼス応力、主応力について、以下の項目で説明しました。

  • 応力解析で得られる解析結果、変位と応力について
  • 応力の考え方(理論)について
    • 最大主応力説
    • 最大せん断応力説(トレスカの説)
    • せん断ひずみエネルギー説
    • フォン・ミーゼス応力の補足説明
  • 最大主応力について
はかせ

サイト管理人で記事も書いているモノづくり会社の品証の人。
振動制御で工学博士なれど、いろいろ経験して半世紀。
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