振動制御、モデリングのためのモード解析の基礎知識

ここでは、振動制御、モデリングに必要なモード解析の基礎知識について以下の項目について説明します。

  • モード解析とは
  • 振動では、何を問題にするのか?
  • モード解析理論
  • FEM(固有値解析)と実験モード解析
  • 低次元化モデル作成イメージ

ここでは、実験モード解析と有限要素法による固有値解析についてもまとめています。

金属バットを対象にした実験モード解析(ハンマリング試験のデータから簡易的なモード形状の作成)とFreeCADによる固有値解析の例については、以下のページをご参照ください。

バットのハンマリング試験で始めるモード解析入門(体験実習ガイド)
実験の経験が少ない新入社員などへの体験学習を想定し、金属バットを対象に振動の計測と可視化を体験して学ぶ内容をまとめています。ハンマリング試験によりバットの周波数応答をFFTアナライザで計測し、実験データから振動モード形を作成し考察します。
FreeCADで始める固有値解析入門:金属バットの振動モード解析
FreeCADを使ったFEM(有限要素法)による振動現象の解析(固有値解析)について、金属バットを例に説明しています。FEMによる振動モード解析は、形状モデルがあれば比較的簡単にできるので、実験における計測点の選定などにも利用できます。
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モード解析とは

振動の可視化の1つ、振動解析手法の1つで、次の2つに分けることができます。

  • 有限要素法の動解析の1つである固有値解析
  • 実験モード解析
単にモード解析という場合には、実験モード解析をさす場合が多いようです。

モード解析は、その結果から、振動モード形(ソフトウェアによってはアニメーション表示もできます)を得ることができ、振動を可視化することができます。

モード解析は、構造上の弱点を見つけ、防振、防音などの対策や設計変更に利用されています。

振動・騒音についての身近な例については、以下の記事を参照してください。

身近にある振動・騒音について
身近な騒音には、自動車や航空機などの乗り物の騒音、工場や工事現場などがあります。一方で、身近な振動と言われると、地震を除くと思いつくものがないかもしれません。ここでは、身近にある振動、振動現象、音と振動の関係について説明します。
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固有振動数と固有モード

ここでは、固有振動数と固有モードについて説明します。

基本的な振動モード形については、以下のリンク先を参照してください。

基本的な振動モード形
FEM(固有値解析)による平板の基本的な振動モード形についてまとめています。固定条件フリー、片端固定(タワー)、両端固定(橋)、周辺固定の振動モード形を紹介しています。また、FEMの解析自由度と剛体モードについても説明しています。

固有振動数(固有値):振動しやすい周波数

固有振動数(固有値)とは、その対象物固有の振動しやすい周波数であり、周波数応答関数(伝達関数)においてピークとなっている周波数のことです。

下図は、片持ち梁の周波数応答関数の1例です。

片持ち梁の周波数応答関数の例

片持ち梁の周波数応答関数の例

この構造物(片持ち梁)では、1000Hzまでに4つのピークがあります。

固有振動数は共振周波数とも呼ばれ、固有振動数近傍で加振すると共振現象となりやすいため、注意が必要です。

はかせ
はかせ

実際の製品や構造物は、共振周波数による構造物の振動による破壊を避けるため、様々な対策が行われています。

共振を防ぐためには、

  • 機械であれば共振周波数での運転を避ける。
  • 構造変更等で剛性を上げる(共振周波数を高い周波数に移動させる。)

といった対策が行われています。

固有モード:固有振動数での振動モード形

一般に構造物は連続体(分布定数系)であり、無限の振動モードを持ちます。

また、ある固有振動数数おける構造物の振動モード形を固有モードといいます。

片持ち梁の1次及び2次の振動モード形を下図に示します。

片持ち梁の振動モード形:1次モード

片持ち梁の振動モード形:1次モード

片持ち梁の振動モード形:2次モード

片持ち梁の振動モード形:2次モード

上図の振動モード形において、赤い部分が各モードの振幅が大きい部分を示しています。

ここで、制振するために、振動モード形の節(動かない部分)と腹(大きく動く部分)に注目し、制振装置の設置場所について考えてみます。

  • 振動モード形の腹に制振装置を設置すると
    • 振動の大きい腹は、良く動く振幅の大きい部分であり、よく動く部分であるためは、振動を止めやすい。
    • 上手の振動モード形では、制振対象の先端部(最上部)に制振装置を設置した方がよいことになります。
  • 振動モード形の節に制振装置を設置すると
    • 振動モード形の節は、振動しない部分であり、制振装置設置位置が節に一致すると、制振することができません。
    • センサーを節に設置するとその振動モード形の共振周波数を観測できないため、上図の2次モードの節にセンサーを設置すると制振対象を1自由度系に低次元化したモデルで1次モードの制振効果をえることができます。

振動モード形とモデリングについては、以下の記事をご参照ください。

振動モード形を利用したモデリング入門
塔状構造物のような柔軟構造物の振動制御法の1つとして、振動モード形の節を利用してスピルオーバーを防止すると共に、物理座標系でのモデリングによりセンサー信号による状態フィードバック制御を実現する低次元化モデル作成法についてまとめています。

減衰:どれだけ振動が持続するか?(どれだけ振動がおさまりやすいか?)

減衰とは、外乱等により発生した振動がどれだけ持続するかを表します。

周波数応答関数のグラフでピークとなっている部分が、減衰が大きくなるとピークの鋭さが鈍く(丸く)、ピークの高さは低くなってきます。

つまり、減衰が小さい(ピークが鋭い)ほど、振動は持続し、振動しやすいといえます。

減衰が大きい場合には、制振する場合に共振周波数を含む場合でも、共振現象が大きな問題とはならないため、無理に避けなくても済む場合が出てきます。

減衰そのものは、実験的に求められることが多く、実験モード解析は減衰を求める方法(カーブフィットと呼ばれています)の1つです。

また、減衰の評価は、非常に難しく、誤差が大きいのが現状です。

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モード解析理論

モード解析を理論的に説明すると、

  • 物理座標系から座標変換により、モード座標系と呼ばれる直交座標系で振動系を解析する手段の1つ
  • 数学的は一般固有値分解に基礎を置くもの

となります。

これをイメージにしてみると、下図のようになります。

制振対象(通常は分布定数系)は連成した物理座標系で各モードは連成しているため、分離できません。

モード座標系を導入することにより、1自由度系の足し合わせで表現することができるようになります。

連成した物理座標系から非連成化したモード座標系のイメージ

連成した物理座標系から非連成化したモード座標系のイメージ

FEM(固有値解析)と実験モード解析

下図は、実験モード解析とFEM(固有値解析)とのフローについてまとめたものです。左側が実験モード解析、右側が固有値解析です。

実験モード解析とFEM(固有値解析)の比較

実験モード解析とFEM(固有値解析)の比較

実験モード解析と固有値解析とは、最終的に得るものは振動モード形で同じですが、その求め方は大きく異なることに注意が必要です。

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低次元化モデル作成イメージ

実際の制振対象は、分布定数系であり、無限この質量、ばね、減衰からなります。

分布定数系の制振対象の低次元化モデルを作るということは、下図の例では、無限この質点からなる制振対象を2自由度系(2個の質点)へと低次元化しています。

分布定数系から2自由度系の低次元化モデル作成イメージ

分布定数系から2自由度系の低次元化モデル作成イメージ

まとめ

ここでは、振動制御、モデリングのためのモード解析の基礎知識として、以下の項目について説明しました。

  • モード解析とは
  • 振動では、何を問題にするのか?
  • モード解析理論
  • FEM(固有値解析)と実験モード解析
  • 低次元化モデル作成イメージ
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